返朴 2019-05-07 作者：曹则贤
两个肥皂泡沾到一起后是什么构型？三个肥皂泡沾到一起后是什么构型？回答这个问题，观察敏锐还会点抽象的物理学家容易得出结论，但若要给出证明数学家也得绞尽脑汁。最小面理论、几何测度论了解下？
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）
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泡 泡
夏天下雨的时候，雨滴打在积水上有时候会击打出气泡（bubble）来。气泡刚产生时会四下游移，然后没过多久就啵的一声破裂了。这说明气泡的产生和维持都是需要满足某些条件的。干净的水不容易产生气泡。气泡内外的压差 △p 同界面能γ和界面几何之间的关系为 △p=γ（1/R1+2/R2），其中 R1，R2 是液膜的主曲率半径，γ是液体的表面张力，又叫表面能。 对于球形气泡 R1=R2=R，R 是气泡的半径，气泡的内外压差为 △p=2γ/R。常温下纯水的表面能高达72 mJ/m2，这几乎是液体金属以外的物质能达到的最大值，因此半径在毫米以下的水气泡，其内外压差是大气压量级的。加入肥皂、酒精、草木灰一类的物质能显著降低水的表面能，有助于水泡的产生。吹泡泡大概是最简单的游戏了：向清水里加入一些洗洁精，再找一根吸管，一件能给孩子带来无穷乐趣的玩具就做好了。看着因为吹泡泡而欢呼雀跃的孩子，成年人的心里想必也充满了欢乐。
有些成年人在吹泡泡时，内心充满的除了欢乐还有深刻的数学和物理。 醉心于吹泡泡的大神有著名的物理学家开尔文爵士（Lord Kelvin，1824-1907），那可是热力学的奠基人，熵概念的缔造者。据说其侄女1887年到乡下去看望他时，德高望重的老爵士就在忙着吹泡泡。很多泡泡聚在一起，形成泡沫（foam），见图1。泡沫的整体构型是表面能（表面积）最小的构型，这是一个我们坚信不疑的物理原理。不知是否是受泡沫的启发，开尔文爵士猜测截角八面体堆积构型的总表面积最小，这即是所谓的开尔文猜想。不过，1993年 Denis Weaire 和 Robert Phelan 找到了一种表面积更小的泡沫结构，从而判定开尔文猜想不成立。这是来自观察肥皂泡沫的一项重要的数学、物理研究。
本篇要介绍的，是关于泡泡的普拉托定理的证明。这是一类看起来简单、直觉上明白其是对的、但是却非常难以证明的著名命题之一。
图1. 泡泡（bubbles）的聚集体是泡沫（foam）
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关于泡泡的普拉托定理
比利时物理学家普拉托（Joseph Plateau, 1801-1883）是一个醉心于视觉研究和吹泡泡的人（图2）。普拉托是最早认识到视觉暂留的人，其晚年失去了视觉，据说仍指导侄子吹泡泡继续他的研究。他1873年出版的长达450页的《仅置于分子力之下的液体之静力学》一书是关于泡泡研究的经典。作为一个科学家，面对泡-沫（bubbles and foam）这种人所共知的存在，普拉托看出来了许多很不直观的内容。普拉托其人其事，特别适于用来阐述科学家（依人之本性而非职业而言）同非科学家之间的区别。
图2. 比利时物理学家普拉托
关于泡泡，一个孤立的悬浮气泡，不考虑空气流动或者重力、温度场对液体分布的影响，是球形的。如果许多泡泡漂浮在空中，很可能会发生两个或多个气泡相遇而合并（merge, coalesce）的情形（图3）。那么，两个气泡相遇其稳定构型是什么样的呢？三个呢？或者笼统地说，气泡团簇（bubble cluster）的构型会是什么样的呢？一般人很容易想到，若两个气泡是完全等同的，则它们相遇后的构型必定是对称的，因此它们的边界必然是一个平面，两个泡泡各自的形状关于这个平面成镜面对称。然而，我们知道，一个球形气泡其内外压差为 △p=2γ/R。因为飘在空中的气泡，其外部都是一个大气压，显然气泡越小，其内部压力越大。若一大一小两个气泡相遇，小的气泡会挤压大的气泡，进入大气泡的内部（可能许多人此时的反应是：是吗？ 我没注意啊）以达到一个平衡的构型（图4），为此气泡内的体积和压力都要调整。
图3. 单个气泡（左图） 与聚在一起的气泡团簇（右图）
普拉托经过多年研究，得到了关于气泡及其合并构型的许多重要结论，可总结为普拉托定理如下：
1. 气泡由完整光滑的曲面（entire smooth surfaces）拼成；
2. 气泡的每一片膜都是常平均曲率曲面（mean curvature is everywhere constant on any point on the same piece of a film）；
3. 泡泡表面的边界一定是由三表面两两相接构成的三条曲线（称作普拉托边界）， 其交角为120°，即夹角为 arccos(?1/2) = 120°；
4. 普拉托边界之间相交一定是由四条边界相交构成一个点，四条边界线两两之间的交角都相同，等于正四面体的中心同各顶点连线所成的角，即夹角为arccos(?1/3) =109.47°。
这四条普拉托定理，除了第一条以外，都不是那么直观，意思是不是寻常人通过观察能总结出来的。普拉托定理第1、2两条谈论的是气泡（团簇）的光滑部分，第3、4两条谈论的是结构中存在的奇性（singularity）问题。普拉托定理的第3、4两条的意思是泡泡有两种相遇的模式，或者说气泡团簇的奇性有两类：要么是三个表面沿一条曲线相遇；要么是六个表面相遇于一点。最重要的是，相遇处相邻面之间的夹角是相等的，分别为120°或者为109.47°。至于证明，我们会发现，这要求很高深的学问，包括微分几何和几何测度论等即便是对数学专业的人也不算容易的学问。不过，泡泡多有趣啊，为了理解泡泡，为了帮助孩子理解泡泡，学点微分几何不是搂草打兔子的事儿吗？
图4. 两个全等气泡合并时，其界面是平面，而大小不等的两个气泡合并时，其界面是个小气泡突入大气泡一方的球帽
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普拉托定理的证明
普拉托定理证明的关键，是要证明有第3、4两条给出的相遇模式，还要证明此构型相对于变形是稳定的，且在此构型下面积最小。可以想见，这个问题的证明不能一蹴而就，它是一场智慧的接力。先看普拉托定理的第一条，气泡由完整光滑的曲面构成。对于一个自支持（free-standing）的气泡，即悬浮在空中的、单个的气泡，观察告诉我们它是球形的（图1），此时结构不存在奇性，应该属于最简单的情形。然而，关于这个结论的证明，也有许多可訾议处。一般证明是纯数学角度的，论证给定面积的曲面，球面包裹的体积最大。这个证明据信在亚里士多德的《论天》（de …
