caelo）一书里就有。从物理的观点来看，限定一个气泡的条件（忽略重力、温度等因素）是泡内气体的量（而非体积）和外部的环境气压。气体的流动性使得气压各向同性，它注定了气泡膜的构型具有最大的对称性，即球对称性。压力平衡的条件是硬性的，气泡膜的厚度（这是物理问题）会适度调整来达到平衡条件，因此也就调节了气泡内的体积。以气泡内体积恒定的数学证明与物理现实是有出入的。
普拉多问题证明的难点，是不容易做到 without a strong initial assumption on the smoothness and symmetry，即很难做到一开始不对构型的光滑性与对称性做一些强的假设。在数学上，可以把曲面理解为从平面区域（2D domain）向三维空间的映射，变分法是求极值（比如要求面积最小）的方法。但是这个方法有很多弊端，其最大的问题就是缺乏紧致性。如果预先假定肥皂泡是紧致曲面的话, 那么根据曲面微分几何中的阿列克桑德罗夫定理，这曲面必定是一个标准球面。然而，气泡团簇构型是一个含有奇性的结构，比如两气泡相遇后造成的界线，此处曲面发生弯折。可以想见，关于气泡问题证明的首要任务是分析奇性的结构（structure of singularity），并予以分类。此问题已研究过一个多世纪，相关成果也非得自一篇论文。
所幸的是，一个真正科学的问题不会只有一个侧面，它可能会以不同的面目遭遇不同的科学家。1964年，Aladar Heppes 证明了球面上测地线以120°夹角相交（这和普拉托定理的第3、4条有关）的构型只有10种（图5）可能性。接着，女数学家泰勒（Jean E. Taylor， 1944-）证明了前三种以外的构型面对变形都是不稳定的，而前三种对应的就是光滑表面和普拉托定理的第3、4条涉及的奇性种类（types of singularity）。泰勒1976年顺着切锥（tangent cone）、关于等周不等式到奇性结构的路子，构造了一个对普拉多问题的证明。如大家可能已经感知的，这个证明是冗长的、且是有些限定的。这个证明利用了 rectifiable current（可求长的流），测度等几何测度论的概念。大致说来，这要用到几何测度论的学问，可分为三部分：切锥分析， 一个微分形式的等周问题不等式的证明，然后从此不等式得到微分结构。其中第一部分证明三维空间中面积最小的锥是Y（半圆盘及其绕直径为轴转120°和240°之构型的交集）， 以及 T（ 
，其中C是对中心在原点、顶角包括点（3, 0, 0）和 
之正四面体之一侧所张的中心锥）。 从这里大家应能看到普拉托定理的影子了。
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图5. 10种球面上以120°相交的测地线构型
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多余的话
泡泡问题展示了一个非常简单的原理，即物理意义上的表面能最小或者数学意义上的面积最小，然而问题却未必那么简单。从物理的角度来看，哪怕完全不考虑重力、温度等因素的影响，泡泡问题的外部约束也是外部压力恒定，而非数学证明擅长的给定边界的最小曲面问题。对于单个泡泡来说，其构型为球形，此时对称性最大。对称性最大意味着某些物理量取极值。笔者2018年才想到并坚信了这一点（比如笔者坚信金刚石的极大杨氏模量就与其化学的和电子结构的对称性有关）。以笔者有限的见识，从此角度出发做物理的范式，似乎未见过。
泡泡问题的复杂性源于几何构型变化的本质。肥皂泡沫这种结构是那种几乎处处规则（regular almost everywhere）的结构。那规则的曲面部分可看作是从二维圆盘到三维空间的一个光滑的映射好了，但是，那些不规则的地方，比如两个泡泡的（一维）界线处，就需要特别的描述，比如引入特殊的测度。关于泡泡团簇构型的证明，难就难在这里。为此，数学家不得不准备一门全新的学问。证明一个问题，可能首先需要在别的层次、用别样的眼光看这个问题。
在阅读关于泡泡问题的数学书时，备受煎熬的笔者忽然想到，优秀的数学家应该是典型的一类不能好好说话的人吧，不知道优秀数学家的配偶是否也必须是不能好好说话的那类人？笔者脑中灵光一闪，发明了一个关于数学家的定理: “任何配偶集合非空的数学家都不是合格的数学家，除非其配偶自身是合格的数学家。” 或者换个更强一点的表述，“若任何配偶集合非空的数学家是一个合格的数学家，则其配偶自身必然是合格的数学家。” 五分钟后笔者看到了女数学家泰勒同其第二任丈夫、数学家兼导师Almgren的结婚照。泰勒女士1976年证明普拉托定理的论文就是基于Almgren的理论的。世界太神奇了，笔者提出数学家定理5分钟后就发现了证据。顺便提一句，泰勒女士本科是学化学的，硕士导师是几何大家陈省身先生。
建议
本篇可以和《物理学咬文嚼字》088 Bubble & Foam （泡与沫）对照阅读。
深度阅读
1. Joseph Plateau，Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires （仅置于分子力之下的液体之静力学）, Gauthier-Villars （1873）.
2. Jean E. Taylor, The Structure of Singularities in Soap-Bubble-Like and Soap-Film-Like Minimal Surfaces, Annals of Mathematics, Second Series, 103 （3）, 489-539 （1976）.
3. Cyril Isenberg, The science of soap films and soap bubbles, Dover publications, Inc. （1992）.
4. Frank Morgan, Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide, 3rd edition, Academic press （2000）.
5. 曹则贤，《物理学咬文嚼字》卷四，中国科学技术大学出版社（2019）.
6. Philip Ball, Nature's Patterns, Oxford University Press （2009）.
本篇取自曹则贤《惊艳一击——数理史上的绝妙证明》一书，外语教学与研究出版社，2019.
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