返朴 2019-05-21 作者：项海波
撰文 | 项海波
1 开宗立派：光量子，玻尔模型
1900年12月14日，精通音乐与作曲的德国物理学家普朗克（Max Planck，1858-1947）发现，若以一种量子化（quantization），即不连续、离散的观念来看待电磁波的能量随频率的分布，则可以得到关于黑体辐射（对于外来的电磁波无反射、无透射，完全吸收，这样的物体称为黑体（black body）。 黑体自身辐射出电磁波的现象称为黑体辐射。）的正确公式。尽管后来这一天被视为量子力学（或旧量子论）的诞生日，但当时普朗克本人对其中蕴含的革命性思想完全不以为意。
图1：黑体辐射的频谱。 普朗克公式与实验结果完全一致。
1905年，爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）于苏黎世大学博士毕业，在这一年里，他连续发表了关于光电效应、布朗运动、狭义相对论以及质能关系的四篇论文，在物理学的四个不同领域中同时做出了开创性的巨大贡献。故1905年也被称为爱因斯坦奇迹年（Annus mirabilis）。其中，在对光电效应的研究中，爱因斯坦提出，量子化并不仅仅是一种数学上的技巧，光的能量本身就是量子化的。具体地说，对于频率为 ν 的光，其能量只能为
E = hν = ?ω (1)
的整数倍，其中 h = 6.626 × 10?34 J·s 被称为普朗克常数，? := h/2π被称为约化普朗克常数；而一定频率下具有最小能量 (1) 的光被称为一个光量子（light quantum），或叫光子（photon）；光的被发射或被吸收最少只能以一个光子的份额进行。当然，再考虑到由狭义相对论导出的光的能量动量关系 E = pc，我们还可获知，光的动量也是量子化的，即
p =h/λ或 p = ?k (2)
为一个光子所携带的动量。爱因斯坦的这种观点极具想象力与突破性，与人们长久以来存于脑中的关于物质世界的“连续性”这一既有观念形成了强烈的冲撞，以至于甚至遭到了作为量子论创始者的普朗克的反对。但它最终被实验证实，成为量子力学的肇始之一。
1913年，为了解决原子光谱的离散性问题，以及在经典物理学框架下 卢瑟福原子模型（行星模型）的不稳定性，新婚第二年的玻尔（Niels Bohr，1885-1962）提出了关于原子结构的玻尔模型。其核心观点是，
? 电子稳定地位于原子核外一系列离散的能级上（即轨道能量与角动量 是量子化的）；
? 只有当电子在两条能级间跃迁时，原子才以频率 ν = (?E)/h 发射或吸收谱线。
对于氢原子等一些简单的情形，玻尔的理论给出了与实验结果?分相符的说明。
以上这些工作构成了早期量子理论的主要部分。显然，它启发我们，微观世界应该有一个有异于经典物理学的全新的基础性规律。
2 任督贯通：矩阵力学、波动力学、相对论量子力学
在提出光量子概念以后的?数年里，爱因斯坦进一步指出，波动性与量子性（粒子性）是光所必须具有的内在属性，这被称为光的波粒二象性。1924年，在爱因斯坦光量子理论的启发下，大学早期曾就读于历史学专业的德布罗意（de Broglie，1892-1987）于其博士论文中提出，有必要把波粒二象性（wave-particle duality）拓展到全部微观粒子，即波可以具有量子（粒子）性，而普通实物粒子亦应可以具有波动性。由此，德布罗意给出物质波（matter wave）假设，它认为对于动量与能量分别为 p 与 E 的自由实物粒子，有如下波与其相联系：
λ = h/p, (3)
ν = E/h. (4)
德布罗意的物质波理论被他的导师转交爱因斯坦审阅，并得到了后者的大力赞赏，这不仅使他获得了博士学位，更将使整个量子理论进入一个新境界。
图2：用电子作双缝实验，结果得到了如通常的波一般的干涉图样。从第一张图到第四张图，电子越来越多，干涉图样也越来越清晰。但值得注意，虽然图中每一个点表示有一个电子抵达探测屏，但点的离散状却并不意味着电子的“粒子性”。此实验由外村彰（Akira Tonomura）团队于1988年开展。
1925年6月，刚在哥廷根大学获得教职的海森堡（Werner Heisenberg，1901-1976）因躲避过敏性鼻炎而前往德国北部的海姑兰岛。在那里，他一面品味着歌德的抒情诗集《西东诗集》（West-?stlicher Divan），一面通过类比自傅立叶级数的方法，给出了描述量子理论的一个新方案，并找出了其中的关键：非对易性（noncommutativity）。在海森堡将他的结果寄给他大学时的老师玻恩（Max Born，1882-1970）后，后者意识到，海森堡的方法事实上就是将矩阵（matrix）的概念引了进来。在此基础上，当年内，他们就与玻恩的助教约尔旦（Pascual Jordan，1902-1980）一起，发展出了一套用系统化的矩阵语言来描述量子理论的新形式，称为矩阵力学（matrix mechanics）。
与此同时，正在剑桥攻读博士学位的狄拉克（Paul Dirac，1902-1984）指出，矩阵力学中的非对易性与分析力学中的泊松括号密切相关。在此基础上，狄拉克建立起了完整的正则量子化（canonical quantization）手续，并以此获得了博士学位。
在1925年受邀讲述德布罗意关于波粒二象性的论文后，时任苏黎世大学教授的薛定谔（Erwin Schr?dinger，1887-1961）旋即于当年底到次年初建立了一个非相对论性的波动方程，即著名的薛定谔方程，并于1926年上半年完成了他所谓的波动力学的创建。因为1920年代物理学界对矩阵这一工具尚不熟悉，所以基于波函数（wave function）与偏微分运算的薛定谔方程甫一诞生，便受到了当时物理学家们的热烈赞赏。同年，在研究了 海森堡等人建立的矩阵力学之后，薛定谔证明了矩阵力学与波动力学的等价性。
至此，在以海森堡与薛定谔等人为主要代表的诸多物理学家的协同努力下，量子理论的内在逻辑与图景就得以清晰地展现在世人面前；早期量子理论（或叫旧量子理论）终于“跃迁”到了一个新的阶段，所谓现代量子力学宣告诞生。
图3：薛定谔墓碑上镌刻着以他命字命名的方程。
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